Yves Meyer, lauréat 2010 du prix Gauss

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Le prix Gauss vient d’être attribué à Yves Meyer lors de la séance inaugurale du Congrès International des Mathématiques (ICM), qui se tient actuellement à Hyderabad ¹ Voir ce billet . Ce prix est très récent puisque Yves Meyer en est le second lauréat, et a été attribué la première fois il y a quatre ans, lors du précédent ICM, qui s’était tenu à Madrid. Il récompense un mathématicien ayant effectué des contributions exceptionnelles ayant des répercussions dans les domaines d’applications des mathématiques. Le premier lauréat avait été Kiyoshi Ito, mathématicien japonais qui répondait parfaitement au « cahier des charges » du prix, puisque la notion d« intégrale stochastique », qu’il avait introduite, est non seulement un apport fondamental en théorie des probabilités, mais est aussi l’outil indispensable pour résoudre les équations différentielles et aux dérivées partielles stochastiques, qui modélisent les systèmes physiques dont l’évolution dépend, entre autres, du hasard.

Yves Meyer est né en 1939. Il a passé sa jeunesse en Tunisie et a été élève du lycée Carnot de Tunis, pépinière d’intellectuels de tout premier plan. Il y brilla tout particulièrement : primé au concours général en Mathématiques. Reçu premier à l’Ecole Normale Supérieure (ENS) alors qu’il venait d’avoir 18 ans, après seulement une année de classes préparatoires, il enseignera trois ans au Prytanée militaire de la Flèche, où il commencera une thèse ; durant ces années, il sera scientifiquement influencé par Jean-Pierre Kahane grande figure de l’analyse harmonique en France. Ce domaine des mathématiques est motivé par l’étude des fonctions à partir de leur décomposition en fréquences. La proximité de J.-P. Kahane permettra à Yves Meyer d’échapper à l’influence de l’establishment mathématique de l’époque, sous la domination du groupe Bourbaki ; il en gardera toute sa vie un certain style, préférant la résolution de problèmes précis, l’étude d’objets mathématiques remarquables, plutôt que la construction de théories générales. Ultérieurement, Jacques-Louis Lions, fondateur de l’école de mathématiques appliquées française, aura aussi sur lui une influence importante, le sensibilisant notamment à la richesse du lien entre les mathématiques et leurs applications. Hormis de brefs passages au CNRS, il sera toute sa vie enseignant-chercheur, tout d’abord à Strasbourg, puis Orsay, Polytechnique, Dauphine, et enfin à l’Ecole Normale Supérieure de Cachan.

L’une des caractéristiques d’Yves Meyer est son éclectisme dans le choix de ses thèmes de recherche. Jeune, il s’intéressera à l’interface entre l’analyse harmonique et la théorie des nombres. Ce sujet très riche et surprenant l’amènera a proposer les premiers exemples de quasi-cristaux, avant les travaux qui rendront R. Penrose célèbre. Il s’agit de construire des pavages de l’espace par des objets réguliers, et pour lesquels les pavages périodiques sont interdits ²Voir un exemple dans cet article.. Ainsi, on ne peut paver le plan par des pentagones réguliers, mais c’est possible par un pavage « quasi-périodique » contenant des pentagones et des losanges, et un tel pavage aura des propriétés de symétrie d’ordre 5 remarquables. Ces travaux d’Yves Meyer ont trouvé des applications inattendues en chimie.

En 1974, Yves Meyer effectue une visite aux Etats-Unis, à « Washington University », à Saint Louis. Là, R. Coifman lui décrit le « programme de Calderon », vaste programme scientifique dont le but était l’étude des opérateurs d’intégrale singulière ; ces opérateurs jouent un rôle central dans de nombreux problèmes issus de la physique (électrostatique ou électromagnétisme par exemple), dans des situations où la géométrie est peu régulière. Captivé par ce nouveau sujet, Yves Meyer résoudra la première conjecture centrale de la théorie, (en collaboration avec R. Coifman et A. MacIntosh) concernant l’intégrale de Cauchy. Le travail de pionnier qu’il aura ainsi effectué ouvrira la voie aux célèbres travaux de G. David et J.-L Journé (théorème T(1)), X. Tolsa (conjecture de Painlevé), P. Auscher, P. Tchamitchian et al. (conjecture de Kato),… La plupart de ces brillants mathématiciens sont des anciens élèves d’Yves Meyer.

En 1984, Yves Meyer abandonne ce domaine dont il était devenu l’un des maitres incontestés pour se lancer dans une nouvelle aventure : les ondelettes. Cette théorie est basée sur l’intuition du géophysicien Jean Morlet, qui travaillait dans la détection pétrolières, pour Elf-Aquitaine ; il étudiait les signaux obtenus en « sismique par réflexion » : une vibration est émise vers l’intérieur de la terre, et est réfléchie par les différentes couches du sous-sol ; on cherche à reconstituer la nature du sous-sol à partir de l’étude de signal reçu. Il proposa de décomposer les signaux qu’il étudiait en des composantes élémentaires simples, ayant toutes la même forme. Lorsqu’Yves Meyer entendit parler des travaux que J. Morlet avait effectué sur ce sujet avec le physicien A. Grossman, il perçut le lien avec les théories mathématiques qu’il avait précédemment explorées ; Il va être la cheville ouvrière de cette aventure qui, initiée par une poignée de scientifiques, allait révolutionner le traitement du signal, la statistique, et avoir une influence profonde sur l’ensemble de l’analyse mathématique. En effet, si les décompositions multi-échelles était un outil familier aux spécialistes du traitement du signal et de l’image (elles correspondant à l’idée naturelle d’une image observée simultanément à plusieurs résolutions), la formalisation mathématique qu’en donnent les bases d’ondelettes leurs donne une puissance incomparable ; une base d’ondelettes a une structure algorithmique particulièrement simple : ses éléments ont tous la même forme, et se déduisent les uns des autres par translations et dilatations. Certaines bases d’ondelettes existaient déjà : la première avait été découverte par Alfred Haar en 1909, et était composée de fonctions constantes par morceaux. L’apport fondamental d’Yves Meyer va plutôt être de comprendre la pertinence de cet outil dans de multiples problèmes math »matiques, et pour de nombreuses applications. Parmi les proches collaborateurs d’Yves Meyer, et qui, à ses côtés, feront le succès des ondelettes, on peut citer Stéphane Mallat (aujourd’hui professeur à l’Ecole polytechnique), qui découvrira les algorithmes de décomposition rapide, outil indispensable pour transformer une belle théorie mathématique en un outil utilisable pour effectuer le traitement des signaux et des images en temps réel, Ingrid Daubechies (aujourd’hui professeur à Princeton, et qui vient d’être élue présidente de l’Union mathématqiue internationale), qui découvrira les ondelettes à support compact, qui sont effectivement utilisées dans les applications, ou Dave Donoho (professeur à Stanford), qui percevra l’énorme potentiel des méthodes d’ondelettes en statistique, et en particulier le fait qu’elles fournissent un outil universel, c’est-à-dire parfaitement adaptable à toute situation : aucune hypothèse n’est à faire a priori sur un signal pour effectuer sa décomposition en ondelettes ; ces bases sont adaptées à n’importe quel cadre fonctionnel, et fournissent dans chaque cas une décomposition numériquement stable (on dit que ce sont des « bases inconditionnelles »). Le lien avec les travaux antérieurs d’Yves Meyer est que les ondelettes fournissent aussi une décomposition remarquablement simple des opérateurs de Calderon-Zygmund, qu’il avait précédemment étudiés. Les décompositions en ondelettes sont maintenant devenues un outil incontournable dans toutes les opérations liées au traitement du signal de l’image et de la vidéo (codage, transmission, débruitage, reconstruction d’images floues,…) ; si bien que le standard JPEG, utilisé comme norme en compression d’image, est, depuis l’an 2000, basé sur les décompositions en ondelettes³Voir l’article Compression d’image..

En collaboration avec Ronald Coifman, il sera aussi l’initiateur des « paquets d’ondelettes » puis de « bases trigonométriques locales ». Ces nouveaux systèmes ne sont plus des bases à proprement parler : on décompose le signal sur un ensemble très redondant, espérant ainsi trouver au sein d’un dictionnaire a priori plus grand que nécessaire une famille composée d’un très petit nombre d’éléments, qui permet de représenter le signal avec une très haute précision. La recherche d’une « meilleure base », issue d’un système redondant, afin de représenter un signal ou une image, est actuellement l’une des voies de recherche les plus actives dans le domaine.

Yves Meyer s’intéressera ensuite aux équations de la mécanique des fluides (équations de Navier-Stokes⁴Voir l’article Autour des équations de Navier-Stokes), dont on soupçonnait que les ondelettes fourniraient un outil d’étude privilégié. Il s’est en fait avéré que les méthodes plus anciennes (mais de même nature), fournies par les décompositions de Littlewood-Paley, étaient les plus adaptées, comme le montreront Yves Meyer, et ses étudiants, Marco Cannone et Fabrice Planchon. Plus généralement, Yves Meyer s’intéressera aux problèmes d’analyse non linéaires (lemme « div-curl », injections de Sobolev précisées,…). Il montrera ainsi la pertinences des méthodes d’analyse harmonique (ondelettes ou Littlewood-Paley) sur quelques questions très techniques, mais d’importance cruciale pour la résolution des équations aux dérivées partielles issues de la physique. Depuis peu, il s’intéresse au « compressed sensing », nouvelle technique de traitement du signal, qui a apporté des résultats spectaculaires en débruitage d’image.

Des caractéristiques importantes d’Yves Meyer sont sa passion pour l’enseignement (il a toujours été enseignant, si l’on excepte de très brefs passages au CNRS) et son immense générosité, partageant sans compter ses idées et ses intuitions avec tout ceux qui l’approchent. Ceci explique sans doute pourquoi il a été un directeur de thèse si prolifique (il a eu une cinquantaine de thésards), et si unanimement loué par ses anciens élèves. Au-delà de la profondeur des nombreuses idées qu’il a introduites, Yves Meyer est aussi admiré pour avoir été le centre d’un réseau où intervenaient des scientifiques issus de très nombreuses disciplines. La science est aujourd’hui de moins en moins cloisonnée, et de grandes percées sont obtenues par mises en contact de communautés très différentes qui réfléchissaient, chacune de son côté, sur des problèmes similaires. Le grand succès des ondelettes, dont Yves Meyer a été la cheville ouvrière, en est un exemple éclatant. Son parcours illustre aussi l’un des paradigmes les plus importants de la science actuelle : la frontière que certains ont voulu voir entre science « fondamentale » et « appliquée », n’existe pas : Yves Meyer a donné à de multiples occasions la preuve que des idées profondes, qui ont montré leur pertinence sur des problèmes mathématiques extrêmement théoriques, peuvent s’avérer être la clef qui ouvre la porte à des applications spectaculaires, comme en atteste, par exemple, le titre provocateur qu’il avait donné à l’un de ses exposés : « De la recherche pétrolière à la géométrie des espaces de Banach ».

Chacun de ses anciens élèves peut attester de l’importance qu’il a toujours attaché à la transmission de la science et aux valeurs d’humanisme et de tolérance qui y sont liées. A une époque qui attache de plus en plus de poids aux seules valeurs matérielles, l’exemple qu’il donne n’en est que plus remarquable.

Yves Meyer est membre de l’institut, docteur honoris causa de l’université Autonoma de Madrid et membre étranger de l’American Academy of Arts and Sciences. Il a été titulaire du cours Peccot (enseigné chaque année au Collège de France, par un jeune mathématicien de moins de trente ans). Il a reçu reçu les prix Salem (1970) et Carrière (1972), et le grand prix de l’Académie des Sciences (1984). Il est marié et a deux enfants. L’un d’entre eux, François, est professeur aux Etats-Unis, et travaille à l’interface entre mathématiques et informatique, également dans le domaine des ondelettes.