Petit tour de Champ … des vecteurs

• Maths et art

llustration d’un concept abstrait

Au collège, peut-être avez vous eu l’occasion de faire l’expérience qui consiste à placer de la limaille de fer sur une feuille de papier posée sur un aimant. L’image ci-dessus est une illustration du résultat que l’on peut observer. La notion de champ est souvent abstraite. Lorsque nous avons abordé le champ magnétique j’étais en classe de quatrième du collège. C’était la première année que se vivait la mixité en classe. Le directeur, qui faisait, entre autre, office de professeur de physique, sous-entendait certainement que les filles se parfument. Il nous fit cette remarque : « le champ magnétique, c’est comme le champ parfumique, ça ne se voit pas mais ça se sent ». Le raccourci était rapide mais efficace ; la physique devenait bien agréable à fréquenter.

Oui, comment rendre sensibles et émouvantes des notions abstraites ? C’est sans doute ce souvenir inconscient qui me fit prendre un grand plaisir lorsque, plus tard, j’abordais les notions de champs de vecteurs avec leur lot de lignes de champ et d’équipotentielles. ¹Un vecteur, pour faire simple, peut être regardé comme un segment orienté (une flèche). Un champ de vecteur sur une surface est défini lorsqu’on attribue à chaque point (de la surface) un vecteur (avec sa longueur, sa direction et son orientation). Un champ de blé peut être considéré comme un champ de vecteurs perpendiculaires au sol dont le module (la longueur du vecteur) est constante. C’était le vocable en usage à l’époque, maintenant on parle plutôt d’orbite.

Les images suivantes sont extraites du travail de Vincent Gontier, sculpteur ²on peut voir le site et naviguer.

Lorsque je rencontrai son travail, la limaille revint à la surface et se mit à flotter sur fond de souvenirs. Il n’était pas nécessaire de tenir un discours ; l’objet parlait avec force. Le champ magnétique était la force de compression considérable qu’exerçaient les boulons et la limaille était ces feuilles de journaux qui s’épanouissaient, sous la contrainte, en courbes et surfaces agréables ³ Les feuilles pourraient être regardées comme les équipotentielles du champ de contrainte ou de compression, alors que la limaille trace les lignes du champ magnétique... Il serait certainement possible d’analyser le champ des contraintes ou de pression qui comprime ces pages. Je ne l’aborderai pas ; c’est un travail technique qui déborde du cadre de ce billet et de mes compétences. Je ne retiendrai que l’image et cela est suffisant pour susciter mon étonnement. J’imagine en partie la distribution des vecteurs force entre les mâchoires et je me réjouis d’observer cette multitude de lignes qui déploient, feuille après feuille, la logique interne de ce que je ne vois pas mais qui engendre la figure. Force et fragilité s’associant pour dégager l’émotion.

C’est un travail plastique. Je sais que Vincent ne se lance pas dans des calculs scientifiques avant de produire ses pièces. Il sera peut-être surpris que j’aborde son travail sous ce biais mais, pour qui est d’abord sensible aux champs, ces images sonnent et résonnent comme une musique évidente … douce et intense à la fois.

Pour ma part, de l’étude des champs (de vecteurs tangents), je retiens la constitution d’un réseau ou maillage du plan, ou de la surface, par des lignes orthogonales.

C’est une autre direction vers laquelle nous oriente plastiquement la notion de champ de vecteurs. J’aurai l’occasion d’y revenir. Mais d’ores et déjà, pour ceux que le sujet intéresse, il est possible de manipuler et visualiser (par simulation numérique) des champs électrostatiques et magnétiques sur le site suivant. Nous voyons apparaître des maillages étonnants … mais ils n’ont pas ce parfum agréable qui reste la marque de distinction entre une figure abstraite et un objet sensible.

À charge pour nous de leur donner chair et appétence … Mathématiciens, à vos pinceaux et que chantent les vecteurs.

Fermant la porte qui donnait sur les champs, je m’aperçois que la fenêtre est ouverte sur les difféomorphismes ⁴difféomorphisme est un terme technique … il faudrait et faudra y revenir. Pour l’instant retenons qu’il chante bien à l’oreille.… attention aux courants d’air !