Moyennes (II) : la moyenne quadratique

Ce billet est le deuxième d’une série commencée ici. Nous allons discuter plus en détail la moyenne quadratique, utilisée par exemple en physique, pour montrer comment on peut être amené à utiliser une moyenne différente de l’habituelle moyenne arithmétique.

Définition de la moyenne quadratique

Rappelons que la moyenne quadratique est contruite en « conjuguant » lamoyenne arithmétique par la fonction \(x\mapsto x^2\) définie de \([0,+\infty[\)sur lui-même. La formule pour deux nombres est
\[Q(x,y)=\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}\]
et se généralise à une quantité arbitraire de nombres :
\[Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}n}\]

Par exemple, la moyenne quadratique de \(1\), \(2\) et \(3\) est
\[Q(1,2,3)=\sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2}3}=\sqrt{\frac{14}3}\]
qui vaut approximativement \(2,16\). On voit que dans ce cas,la moyenne quadratique est plus élevée que la moyenne arithmétique. C’est en fait tout le temps vrai, c’est une conséquence de la convexité et de la croissance de la fonction \(x\mapsto x^2\) (voir la figure suivante).

Pour faire une moyenne pondérée, il suffit d’introduire les coefficients au moment où on calcule une moyenne arithmétique, de la façon habituelle. Pour deux nombres \(x\), \(y\) avec des coefficients \(c\) et \(d\), on procède comme suit. On calcule les images des nombres par notre fonction :
\(x^2\) et \(y^2\). On en fait la moyenne arithmétique pondérée : \((cx^2+dy^2)/(c+d)\). On calcule l’image réciproque du résultat par notre fonction, ce qui donne
\[Q((x,c),(y,d))=\sqrt{\frac{cx^2+dy^2}{c+d}}\]

On définit plus généralement la moyenne quadratique des nombres \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) avec les coefficients \(c_1,c_2,\ldots,c_n\) par :
\[Q((x_1,c_1),(x_2,c_2),\ldots,(x_n,c_n))=\sqrt{\frac{c_1x_1^2+c_2x_2^2+\cdots+c_nx_n^2}{c_1+c_2+\cdots+c_n}}\]

Motivation physique

Donnons maintenant une motivation physique à cette moyenne. Imaginons que l’on dispose d’un récipient dans lequel se déplacent un certain nombre, disons \(N\), de particules identiques (par exemple, les molécules d’un gaz). Chaque particule se déplace à une certaine vitesse, on les note
\(v_1,v_2,\ldots,v_N\). Si on souhaite représenter ces nombreuses vitesses par un nombre unique, qui donne une idée de la vélocité « globale » des particules, on peut bien sûr en faire la moyenne arithmétique. Il n’y a pas de raison que ce soit la moyenne la plus adaptée ; on peut essayer de trouver une moyenne qui ait une propriété particulière et physiquement pertinente.
On va chercher une vitesse \(\bar v\) telle que {si les particules se déplaçaient toutes à la vitesse
\(\bar v\), elles auraient la même énergie cinétique totale}.

L’énergie cinétique d’une particule est l’énergie de son mouvement (c’est-à-dire l’énergie nécessaire pour la faire passer du repos à sa vitesse actuelle, ou l’énergie que l’on peut récupérer en la faisant passer de sa vitesse actuelle au repos). Elle est donnée par la formule \(E=\frac12 m v^2\) où \(v\) est la vitesse et \(m\) la masse de la particule. Pour nos \(N\) particules, on obtient une énergie cinétique totale
\[\frac12 m (v_1^2+v_2^2+\cdots+v_N^2)\]
Si les particules se déplaçaient toutes à une vitesse \(v\), on aurait comme énergie cinétique totale
\[\frac12 m (v^2+v^2+\cdots+v^2)=\frac12 m N v^2\]

Ces deux quantités sont égales lorsque \(N v^2 = v_1^2+v_2^2+\cdots+v_N^2\), ce qui équivaut
à
\[v=\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_N^2}{N}}\]
On voit donc que la vitesse cherchée est la moyenne quadratique \(\bar v= Q(v_1,v_2,\ldots,v_N)\).
Ce nombre donne ainsi une bonne idée de la vitesse des différentes particules du point de vue
de l’énergie cinétique.

Et si les masses sont différentes ?

Reprenons l’exemple précédent, mais avec des particules de masses différentes. Notons \(m_1,m_2,\ldots,m_N\) ces masses, et cherchons la vitesse \(\bar v\) telle que si les particules se déplaçaient toutes à cette vitesse, elles auraient la même énergie cinétique totale.

Alors par le même raisonnement, on peut constater que c’est la moyenne quadratique {pondérée par
les masses} qui convient : \(\bar v=Q((v_1,m_1),(v_2,m_2),\ldots,(v_N,m_N))\). Les détails sont laissés en exercice au lecteur : un peu de pratique est toujours utile pour comprendre une notion.