Mathématiques et pâte à tarte

10 avril 2013, c’est la dernière conférence du cycle « Un texte, un mathématicien » à la Bibliothèque Nationale de France. Wendelin Werner prend la parole, assez ému. Pour lui, dans ce cycle, on s’attache à montrer le côté humain des mathématiques ainsi que la transmission écrite de génération en génération. Il a choisi un texte de Karel Löwner, car son histoire et celle de ses contemporains sont révélatrices de choses que nous apprécions dans notre communauté de mathématiciens mais aussi de notre fragilité, et de certains dangers qu’il nous faut toujours veiller à éviter.

1. Der Riemannsche Abbildungssatz



Pour évoquer Löwner, il faut revenir à un beau problème du XIXème siècle, le Riemannsche Abbildungssatz. En français, le théorème de représentation conforme de Riemann. Bernhard Riemann (1826-1866) a été très prolifique durant sa courte existence. Entre mille autres choses, il nous a légué le problème de géométrie culinaire suivant.

Prenons de la pâte brisée du commerce, en forme de disque. On a le droit de l’étirer, de la tordre, pour la faire tenir dans le moule. Quelle que soit la forme du moule, on y arrivera, mais Riemann met des conditions : il interdit de déchirer ou replier, et il exige que les angles soient préservés partout. Si on trace une croix sur la pâte, après déformation, la croix est déformée, mais les deux branches se croisent toujours à angle droit. Et ce doit être comme cela en tout point de la pâte. Cela signifie qu’on doit répartir l’étirement dans toutes les directions, de façon équilibrée au voisinage de chaque point. On parle d’étirement conforme. Peut-on garnir n’importe quel moule à tarte en respectant ces conditions ?

Le Riemannsche Abbildungssatz affirme qu’on peut toujours le faire, pourvu que le moule n’ait pas de trou.

Sur internet, on trouve facilement des représentations d’étirements de pâte pour des formes variées de moules : triangle, carré,… On visualise par exemple la conformité en traçant une grille à angles droits sur la pâte : après étirement, la grille est curviligne mais les angles restent droits.

Pour se faire une idée de la démonstration, on peut essayer d’imaginer que la pâte est faite de petits ressorts comprimés. On la pose au milieu du moule et on lâche. La pâte à ressorts prend alors spontanément une forme qui remplit le moule et est un étirement conforme. La transformation conforme correspond en fait à un phénomène physique.

L’étirement conforme est relié aux nombres complexes. Les nombres complexes, on peut se les représenter comme des points du plan, avec une abscisse x et une ordonnée y, on écrit \( x+yi\). La règle \( ii=-1\) définit une multiplication assez magique. On peut alors en particulier élever un point \( z\) du plan au carré : si \( z=x+yi\), \( z^2 =x^2-y^2 +2xyi\). 
On peut voir l’opération \( z \to z^2\) comme un étirement de la pâte brisée. On peut aussi additionner et utiliser d’autres puissances de z, on obtient des opérations comme \( z \to 1+z+3z^2\) appelées polynômes. On peut même additionner une infinité de termes, ce qu’on obtient s’appelle une série entière 
\( z \to a_0 +a_1 z+a_2 z^2+\cdots\).

Le miracle est que toutes ces opérations préservent les angles. Réciproquement, tout étirement conforme peut s’écrire comme une série entière.

Attention, ces opérations peuvent faire des plis en général, donc les séries entières ne sont pas toutes des solutions du problème de Riemann. Quelle relation y-a-t-il entre les valeurs des coefficients \(a_0,a_1,a_2,\ldots\) et le fait que la série entière ne fait pas de plis ? Ce type de problème a déjà été abordé par Paul Koebe, un élève de Riemann.



2. Kar(e)l Löwner



Né près de Prague en 1893 dans une famille juive pratiquante, il étudie dans un lycée de langue allemande, puis dans l’université de langue allemande de Prague (la Karl Ferdinand Universität). Il soutient sa thèse en 1917 sous la direction de Georg Pick.

Vers cette époque, la même université est fréquentée par Franz Kafka, Rainer-Maria Rilke, Albert Einstein (en 1911-1912, année importante, gestation de la relativité générale). Pick a d’ailleurs fait partie de la commission qui a recruté Einstein à Prague. Pick a donné ces années-là des cours sur les groupes de Lie, qui ont peut-être influencé Einstein. Pick, altiste accompli, a paraît-il fait de la musique avec Einstein qui avait l’habitude de transporter son violon dans un sac plutôt qu’un étui.

En 1922, Löwner arrive à Berlin. La période est troublée, mais Löwner y rejoint une communauté intellectuelle exceptionnelle, où de nombreux mathématiciens sont d’ailleurs liés à la dynastie Mendelssohn.

En 1916, Ludwig Bieberbach (né en 1886) a énoncé une conjecture en lien avec la question de Riemann et Koebe.

« Si une série entière ne fait pas de plis, alors les coefficients satisfont forcément 

\[|a_n| \le n|a_1|. »\]

Et il a prouvé que c’est vrai pour \( n=2\).


Ce type de résultat fait vaguement penser aux solutions des équations du second degré. Quand peut-on dire que les deux solutions ne sont pas toutes deux dans le disque unité ?


En 1923, dans un article intitulé « Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises », Löwner prouve la conjecture de Bieberbach pour \( n=3\).



Le cas général ne sera résolu que 60 ans plus tard, par Louis De Branges, en utilisant d’ailleurs les idées introduites par Löwner. Le texte de Löwner est remarquablement écrit, d’une clarté lumineuse, très pédagogique.


Bieberbach était paraît-il tellement enchanté qu’il lui aurait dit : « tu fais partie des immortels ». Il faut dire que Bieberbach ne semblait pas lui-même particulièrement modeste (cf. les échanges de lettres entre Bohr et Einstein). Peut-être se considérait-il lui-même immortel grâce à sa preuve pour le cas \(n=2\)…

L’idée de Löwner a aussi une description culinaire : il s’agit de faire une fente dans la pâte. Mais c’est tricher ! Riemann l’a interdit ! Non, il ne s’agit pas de couper la pâte au couteau, mais de pousser progressivement la pâte le long de la fente souhaitée. On peut le faire par une famille d’étirements conformes. Il est plus commode de voir le film à l’envers : les deux côtés de la fente s’étalent progressivement le long du bord du disque. C’est la position du pied de la fente, qui se déplace le long du bord du disque, qui pilote le processus, et en particulier la forme de la fente. A chaque instant, l’étirement est une série entière, les coefficients varient au cours du procédé. Löwner écrit l’équation différentielle que satisfont les coefficients, il observe en gros que \( a_3\) ne varie jamais plus que 3 fois plus vite que \( a_1\).



Au-delà de la résolution d’une question d’actualité, Löwner constate que cette idée de déformation continue, l’idée de se déplacer dans un groupe de Lie (celui des étirements conformes) est nouvelle. Elle sera féconde.




3. Geschichte von Löwner und seinen Zeitgenossen


Pour être promu, Löwner part à Köln puis revient à Prague en 1930. En 1939, l’Allemagne envahit la Tchécoslovaquie, Löwner fuit aux Etats-Unis. Pick, à 82 ans, est quant à lui déporté en 1942 et meurt immédiatement. Une grande partie de la famille de Löwner meurt d’ailleurs en déportation.

A son arrivée aux Etats-Unis, avec l’aide d’Einstein, Löwner obtient un poste dans une petite université à Louisville, Kentucky. Faute de locaux, certains cours ont lieu dans une usine (brasserie) le matin très tôt avant l’arrivée des ouvriers. Löwner travaille ensuite à Brown, RI, puis à l’université de Syracuse, NY, et enfin à Stanford à partir de 1951. Après son décès en 1968, Lipman Bers, un de ses étudiants à Prague, témoignera que Löwner était aimé, car il était en paix avec lui-même. Capable d’écoute et amoureux des mathématiques, c’était apparemment la crème des hommes.

De son côté, Bieberbach devint l’un des plus ardents promoteurs de la « mathématique allemande », implémentation dans la science des théories racistes des nazis. Par exemple, il théorise son rejet de la formalisation, portée par les français et les juifs. Il est l’un des fondateurs de la revue « Deutsche Mathematik ». Membre des SA dès 1933, il est très actif dans l’exclusion des juifs des postes universitaires (David Hilbert a témoigné que l’opération avait réduit à néant le département de Göttingen). Il semble s’être accroché à son idéologie de classification de mathématiciens en “types” jusqu’à sa mort en 1982.

Osvald Teichmüller (1913-1943) était un étudiant brillant à Göttingen, actif dans les associations étudiantes nazies (boycott d’Edmund Landau), engagé sur le front russe, où il est mort. Ironiquement, il se trouve que ses mathématiques ont prolongé celles de Löwner. Elles sont marquantes. Son histoire, ainsi que celle de Bieberbach, illustre comment d’excellents scientifiques peuvent déraper. Cela fait réfléchir, surtout quand on prend des responsabilités. Il vaut mieux se méfier des discours chauvins sur les mathématiques à la française, par exemple.




4. Der Schramm-Löwner Prozess

Oded Schramm (1961-2008), est un merveilleux mathématicien israélien, décédé trop tôt lors d’un accident en montagne. Je l’ai connu, et on pourrait dire de lui ce que Bers a dit de Löwner. On a beaucoup travaillé ensemble. Il a loupé la médaille Fields parce qu’il était trop vieux de 1 mois pour l’avoir en 2002. Du coup, c’est moi qui l’ai eue le coup d’après en 2006, et il en a été très content.

A l’origine de nos travaux communs, il y a une question de physique. Comment décrire les courbes aléatoires qu’on observe dans la nature (côtes découpées, interfaces aléatoires,…) ? Les physiciens nous ont soufflé une propriété importante : elles sont (en loi) invariantes par étirement conforme.

La découverte d’Oded Schramm, c’est qu’un procédé conforme aléatoire pouvait produire ces courbes. Il reprend l’idée de Löwner, avec une découpe dont le pied marche au hasard (mouvement brownien). La fente obtenue est une courbe aléatoire. Suivant la vitesse d’oscillation du point, on obtient des fentes plus ou moins régulières. Si ça bouge trop fort, la fente rebondit sur elle-même et on perd de la pâte (il y a des “chutes”). Si ça bouge encore plus fort, on obtient une courbe qui passe par tous les points du plan, comme quand vous faisiez un coloriage à l’école maternelle.

En conclusion, relire les grands anciens est toujours une belle leçon. Nos prédécesseurs sont des personnes de chair et d’os, leurs meilleures idées sont simples (il suffisait d’y penser), ils les transmettent en général magnifiquement, souvent dans une très belle langue.




5. Fragen



Le public a deviné que les géométries non euclidiennes se cachaient derrière les étirements conformes. Werner le confirme : la sphère est un étirement conforme du plan ! En effet, posez une mappemonde translucide sur la table, placez une lampe au pôle Nord et contemplez l’image sur la table. C’est un étirement conforme. Voir le film Dimensions. De son côté, le disque de pâte brisée est secrètement hyperbolique : les étirements conformes d’un disque sur lui-même sont les isométries de la géométrie hyperbolique plane, on le voit sur ce petit film…

Enfin, un auditeur prend la parole pour élargir la perspective aux autres sciences. La « physique allemande » a aussi son histoire sinistre. La relativité d’Einstein a été cataloguée comme juive et niée. Science et totalitarismes ne s’ignorent pas. En URSS, la génétique était conspuée comme une science bourgeoise, les généticiens sont allés au goulag, la génétique russe a pris un retard considérable.

Et Werner de conclure : Lorsque des scientifiques se mêlent d’appliquer leurs concepts et conceptions en politique, les dégâts sont souvent considérables. Il y a eu pour des raisons évidentes davantage d’études là-dessus liées à l’époque que j’ai évoquée en Allemagne qu’en France. Les communautés scientifiques sont riches de personnalités adorables, mais les institutions restent fragiles face à des comportements déviants, la vigilance s’impose toujours.

Le cycle 2013 à la Bibliothèque Nationale de France s’achève sur cet échange particulièrement riche. Rendez-vous en 2014. La dixième année du cycle nous réserve des surprises.