Les deux nombres préférés d’Anastasia sont le 4 et le 9 ; le 4 pour multiplier et le 9 pour ajouter ! Ainsi, partant d’un nombre \(A\) elle le multiplie par 4, puis ajoute 9. Partant du résultat, elle recommence. Puis, elle recommence à nouveau. Pensive elle se demande : quel serait le résultat si elle répétait 100 fois l’opération ?
Solution
Au départ, Anastasia choisit \(A\). La première fois, elle obtient \(4A+9\).
Ajoutons \(3\) à chaque résultat d’Anastasia.
Ainsi, au départ, on a \(A+3\). Puis, \(4A+9+3\), c’est-à-dire \(4(A+3)\).
Autrement dit, on passe d’un résultat d’Anastasia (auquel on a ajouté \(3\)) au résultat suivant d’Anastasia (auquel \(3\) est ajouté) par une simple multiplication par \(4\).
En répétant 100 fois, on obtiendra \(4^{100}(A+3)\).
Pour avoir le résultat final d’Anastasia, il suffit de soustraire \(3\), ce qui donne \(4^{100}(A+3)-3\).
Pour aller plus loin
Reprendre l’énoncé en remplaçant les nombres 4 et 9 d’Anastasia, par des nombres quelconques \(E\) et \(T\).
Indication : distinguer les cas \(E=1\) et \(E\neq1\).
Solution
Si \(E\neq1\), après 100 répétitions, le nombre obtenu sera \(E^{100}(A-\frac{T}{1-E})+\frac{T}{1-E}\).
ÉCRIT PAR
Sébastien Kernivinen
Enseignant en mathématiques - CNED, Rennes.
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Par exemple, on pourra écrire que sont les deux solutions complexes de l’équation .
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