Lettre à une amie fidèle

• Algèbre

Le vocabulaire mathématique est certainement très technique, mais il est aussi souvent très imagé. Voici une lettre, sans prétention, que je me suis amusé à écrire pour illustrer ce propos. Pour les non-initiés, les explications de texte sont données en note de bas de page.

Chère théorie de Hodge \(p\)-adique,

Te souviens-tu de notre première rencontre ? Nous étions à la bibliothèque. Nous nous sommes croisés dans un rayon, puis tu es venue t’installer à ma table ¹Bien sûr, « tu » ici désigne un livre — ou disons un corpus de livres et d’articles — traitant de théorie de Hodge p-adique.. Nous avons commencé à parler, puis nous nous sommes revus les jours suivants, et nous avons pu discuter plus longuement. Je ne sais pas pourquoi j’ai été attiré par toi, sans doute à cause de ton côté mystérieux, indéchiffrable.

Tu m’as rapidement fait découvrir ta Fontaine ²Je triche sans doute un peu ici, mais Jean-Marc Fontaine est le fondateur de la théorie de Hodge p-adique. Ce fut un moment vraiment extraordinaire. Il en jaillissait de somptueux cristaux ³Un cristal est un objet de la géométrie algébrique — qu’il serait trop compliqué de définir ici — qui joue un rôle très important dans notre contexte.qui s’agençaient en anneaux ⁴La cohomologie des précédents cristaux fournit des objets mathématiques appelés « anneaux de périodes p-adiques » (ce sont en particulier des anneaux pour ceux qui savent de quoi il s’agit) qui servent de base à toute la théorie. d’une structure et d’une complexité déconcertante. Ton préféré, je crois, était le « semi-stable » ⁵L’un d’entre eux s’appelle \(B_{\text{st}}\) et correspond aux représentations (on verra le terme apparaître plus tard) semi-stables. Qu’est-ce que cela signifiait ? Fallait-il comprendre que cet anneau fût forgé à partir d’une quelconque matière radioactive ?

Tu m’as vite détrompé en m’expliquant le rôle de ces objets mystiques. Il te servait en fait dans tes occupations quotidiennes. Je ne saurais dire exactement pourquoi, tu t’étais passionnée pour un certain Monsieur Galois ⁶Il s’agit d’Evariste Galois (1811-1823)., et même plus spécialement pour certains groupes ⁷ Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui permettent d’étudier les extensions de corps (un autre concept mathématique pas du tout à prendre donc dans le sens usuel). qu’il avait eu l’audace de former il y a presque deux siècles, et qui étaient encore très actifs aujourd’hui.

Tu cherchais à comprendre comment ces groupes arrivaient encore à se représenter⁸ La théorie de Hodge p-adique s’intéresse à certaines représentations de ces groupes de Galois. dans des lieux un peu particuliers, des espaces disais-tu, à la fois compacts et totalement déconnectés⁹Ces représentations se font dans des \({\mathbb{Q}}_p\)-espaces vectoriels, qui d’un point de vue topologique sont qualifiés de compacts et totalement déconnectés. En fait, on dit plutôt « totalement discontinus » en français (« totalement déconnectés » est un anglicisme), mais le terme « déconnecté » me semblait plus approprié ici pour l’interprétation dans le langage courant. Ce n’était pas une mince affaire, c’est certain ! Mais, tu as été patiente et tu as su expliquer à merveille la magie de tes cristaux et de tes anneaux, leur cohérence¹⁰La cohérence (de même que la quasi-cohérence) est une certaine propriété des cristaux. malgré leurs puissances divisées¹¹Une des principales caractéristiques des cristaux et de certains anneaux de périodes p-adiques est de posséder ce que les mathématiciens appellent des puissances divisées., et leur utilisation pour analyser et littéralement décomposer ces représentations¹²Je pense par exemple à la décomposition de Hodge-Tate..

Je crois dire — et j’espère que tu seras d’accord — que ton caractère¹³Un caractère est par définition une représentation de dimension \(1\). n’était pas toujours facile. J’aurais bien dit que tu étais lunatique, mais tu m’as appris un mot beaucoup mieux adapté à la situation : ton caractère était en fait cyclotomique¹⁴Le caractère cyclotomique, comme on pourra s’en douter, est un caractère particulier qui joue un rôle fondamental en théorie de Hodge p-adique. ! Tel un cyclotron, il changeait régulièrement avec une précision d’horloge, et après avoir compris cela, il m’a été assez facile d’anticiper tes sautes d’humeur.

À peine avais-je commencé à maîtriser un peu les anneaux de ta Fontaine que tu as voulu me faire quitter ce monde rationnel pour m’entraîner dans un nouveau monde de torsion¹⁵Les notions de représentations rationnelles et de représentations de torsion ont un sens dans ce contexte. Les premières sont celles dans lesquelles \(p\) est inversible ; les secondes celles dans lesquelles il est nilpotent. Le mot n’était certainement pas mal choisi, un monde en effet absolument tortionnaire ! À chaque endroit, on pouvait assister à une scène où l’on se faisait tuer par une grande puissance¹⁶Une représentation de torsion est par définition tuée (on dit parfois aussi annulée) par une grande puissance du nombre premier \(p\). Si la représentation s’appelle \(T\), on entend par là qu’il existe un entier \(n\) tel que \(p^n T=0\).. Personne n’y échappait. J’ai eu vraiment peur, je l’avoue, mais là encore tu m’as pris par la main, et tu m’as montré que les groupes de Galois arrivaient aussi à se réunir dans ces endroits peu fréquentables. Ils étaient certes très discrets¹⁷En torsion, les représentations que l’on considère se réalisent dans des espaces topologiques discrets, et même finis., mais les étudier n’en devenait que plus fascinant.

Cette visite était fort intéressante mais pas désintéressée : tu avais une idée derrière la tête, tu aurais bien aimé que je t’aide à aller plus loin dans tes investigations. Tu voulais que l’on explore ensemble un nouveau monde, où les corps pouvaient être ramifiés¹⁸Dans toute cette théorie, on fixe un corps de base. S’il est absolument ramifié (notion mathématique que je n’ai pas envie de définir), l’étude est plus délicate.. Et je t’ai suivi¹⁹ C’était en effet l’objectif de ma thèse que d’apporter une contribution à cette étude.. Nous nous sommes à ce moment beaucoup concentrés sur l’inertie²⁰J’entends par là que nous nous sommes concentrés sur l’action du sous-groupe d’inertie du groupe de Galois. de nos représentations, et je dois dire que ce fut un moment inoubliable.

Après quelques années de dur labeur, ce fut le retour dans le premier monde, plutôt plat²¹ La notion de représentation plate existe en mathématiques. Les représentations rationnelles en sont des exemples. en comparaison. Tu m’as alors présenté tes réseaux²²Un réseau est un objet qui apparaît à l’intérieur des représentations rationnelles, et qui peut donner, par un procédé appelée réduction modulo \(p^n\), un objet dans le monde de torsion. qui t’avaient ouvert la porte vers le monde de torsion. Ils étaient hélas fortement divisibles²³Les réseaux intéressants (qui correspondent à des réseaux dans les représentations) sont qualifiés de fortement divisibles., ce qui rendait la discussion avec eux jamais très facile²⁴Il est vrai que la condition de forte divisibilité n’est pas toujours facile à manipuler.. Mais nous sommes quand même retournés les voir régulièrement, et ils ont fini par nous apprendre des choses. Nous sommes aussi retournés dans le monde de la torsion, pour y explorer de nouvelles ramifications de moins en moins modérées²⁵La ramification dont j’ai parlé précédemment (celle que j’ai étudiée pendant ma thèse) était en fait un cas très particulier. Elle était notamment modérée, comme on dit en mathématiques., parfois sauvages voire féroces²⁶Après la ramification modérée, il y a dans l’ordre de difficulté la ramification sauvage, puis féroce. Je n’ai pour l’instant encore jamais rien regardé de féroce.. Nous avons aussi rencontré de l’inertie bien plus sauvage²⁷De même que pour la ramification, il y a l’inertie modérée et l’inertie sauvage. Dans ma thèse, je me suis intéressé exclusivement à l’inertie modérée ; ce n’est que plus tard que j’ai commencé à étudier l’inertie sauvage. et bornée²⁸Un des mes résultats, en commun avec Tong Liu, a été de borner cette inertie dans le sens mathématique du terme. qu’auparavant.

Mais, il est clair que nous n’avons pas encore tout visité. Je t’écris aujourd’hui pour te témoigner une fois de plus mon amitié, mon dévouement et ma fidélité. J’espère que nous aurons rapidement l’occasion de nous embarquer dans de nouvelles incroyables aventures, toi et moi.