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sont les deux solutions complexes de l’équation
.
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10h20
Cette figure est composée de briques élémentaires toutes du même type (figure 1 jointe). Étant donnés deux cercles \(\Gamma_1\) et \(\Gamma_2\) de centres \(O_1\) et \(O_2\) et ayant deux points communs \(A\) et \(A’\), on peut passer d’un point quelconque \(P_1\) de \(\Gamma_1\) à un point \(P_2\) de \(\Gamma_2\) « via le point \(A\) » en prenant \(P_2\) aligné avec \(A\) et \(P_1\). On a alors (angles orientés de vecteurs et de droites)\[(\vec{O_2A’},\,\vec{O_2P_2})=2\,(AA’,\,AP_2)=2\,(AA’,\,AP_1)=(\vec{O_1A’},\,\vec{O_1P_1})\;,\]d’où \({(\vec{O_1P_1},\,\vec{O_2P_2})=(\vec{O_1A’},\,\vec{O_2A’})}\). Ainsi, la position de \(P_2\) sur \(\Gamma_2\) se déduit de celle de \(P_1\) sur \(\Gamma_1\) par la rotation d’angle \((\vec{O_1A’},\,\vec{O_2A’})\).
Considérons maintenant (figure 2) une chaîne de quelques cercles, par exemple huit, \(\Gamma_1\), \(\Gamma_2\), …, \(\Gamma_8\), tels que \(\Gamma_1\) et \(\Gamma_2\) se rencontrent en deux points \(A\) et \(A’\), de même \(\Gamma_2\) et \(\Gamma_3\) en \(B\) et \(B’\), etc., jusqu’à \(\Gamma_8\) qui croise \(\Gamma_1\) en \(H\) et \(H’\). Partant d’un point \(P_1\) sur \(\Gamma_1\) on passe via \(A\) à \(P_2\) sur \(\Gamma_2\), puis de \(P_2\) à \(P_3\) sur \(\Gamma_3\) via \(B\), etc., pour revenir de \(\Gamma_8\) à \(\Gamma_1\) en un point \(P_9\) via \(H\). Repartant alors de \(P_9\), on recommence suivant la même procédure une deuxième série \(P_{10}\), \(P_{11}\) etc., mais via cette fois-ci les autres points \(A’\), \(B’\), …, \(H’\), pour terminer par \(P_{17}\) sur \(\Gamma_1\). Les points \(\,P_1\) et \(\,P_{17}\) sont alors les mêmes ; autrement dit, la droite \(\,P_1P_{16}\) passe par \(\,H’\).
Pour le vérifier il suffit de sommer les angles de rotation donnant \(\vec{O_2P_2}\) à partir de \(\vec{O_1P_1}\), puis \(\vec{O_3P_3}\) à partir de \(\vec{O_2P_2}\), etc. Ces angles sont \((\vec{O_1A’},\,\vec{O_2A’})\), puis \((\vec{O_2B’},\,\vec{O_3B’})\), jusqu’à \((\vec{O_8H’},\,\vec{O_1H’})\), suivis de \((\vec{O_1A},\,\vec{O_2A})\), puis \((\vec{O_2B},\,\vec{O_3B})\), etc., et enfin \((\vec{O_8H},\,\vec{O_1H}).\) Comme \(A\) et \(A’\) sont symétriques par rapport à la droite \(O_1O_2\), les angles \((\vec{O_1A’},\,\vec{O_2A’})\) et \((\vec{O_1A},\,\vec{O_2A})\) sont opposés et leur somme est nulle ; il en va de même pour les sept autres paires, d’où finalement \({(\vec{O_1P_1},\,\vec{O_1P_{17}})=0}\), c’est-à-dire \(P_{17}\) = \(P_1\).
C’est cette situation, dans le cas de trois cercles, qu’illustre la figure proposée par le site, et reproduite (en étiquetant les points) sur la figure 3. L’alignement de \(P_6\), \(C’\) et \(P_1\) dit que \(P_7\) = \(P_1\).
17h45
remarquable !