Un théorème pourra peut-être vous aider à décorer le sapin de Noël.
Découper de jolies étoiles d’un seul coup de ciseau ?
Je me souviens qu’à l’école primaire on nous apprenait à fabriquer toutes sortes d’avions en papier. J’aimais beaucoup ça et la période de Noël était le moment de découper des frises pour décorer la maison…
Pliez une feuille de papier comme indiqué sur les photos suivantes. Un seul coup de ciseau suffit pour obtenir une étoile à cinq branches. Très pratique !
On trouve cette méthode dans un livre du magicien Houdini, datant de 1922. Il paraît qu’avec de la pratique, on peut fabriquer une bonne étoile en vingt secondes.
Si vous partez d’une feuille de papier, si vous la pliez comme vous voulez et que vous n’avez droit qu’à un seul coup de ciseau, rectiligne, quelles sont les formes que vous pouvez obtenir ?
Toutes les figures polygonales sont réalisables !
C’est un théorème 1“Folding and Cutting Paper”, in Revised Papers from the Japan Conference on Discrete and Computational Geometry (JCDCG’98), Lecture Notes in Computer Science, volume 1763, Tokyo, Japan, December 9–12, 1998, pages 104–117. d’Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, et Anna Lubiw.
Non seulement c’est possible, mais les auteurs décrivent un algorithme pour y parvenir.
Par exemple, si vous voulez dessiner un cygne,
il faut plier sur les lignes pointillées de la figure suivante :
Il y a deux sortes de pointillés, qui indiquent le sens du pliage.
Le MSRI, l’institut de recherche mathématique de Berkeley aux USA, a choisi d’illustrer ce théorème sur sa carte de vœux.
Si vous lisez l’anglais, allez voir cette page pour plus d’informations. On trouve même des exemples de patrons. D’ailleurs, les autres articles des Demaine sont aussi intéressants 2Martin est le père d’Erik..
Si vous comprenez l’anglais parlé, je vous recommande chaleureusement d’écouter la démonstration de ce théorème par l’un de ses auteurs Erik Demaine lors d’un cours au MIT consacré aux origamis. Le premier quart d’heure est en tout cas très élémentaire.
A vos ciseaux !
Allez voir également le livre de Houdini et apprenez à fabriquer des grenouilles en papier 🙂
ÉCRIT PAR
Étienne Ghys
Directeur de recherche CNRS émérite, Secrétaire perpétuel de l'Académie des sciences - École normale supérieure de Lyon
Il est possible d’utiliser des commandes LaTeX pour rédiger des commentaires — mais nous ne recommandons pas d’en abuser ! Les formules mathématiques doivent être composées avec les balises .
Par exemple, on pourra écrire que sont les deux solutions complexes de l’équation .
Si vous souhaitez ajouter une figure ou déposer un fichier ou pour toute autre question, merci de vous adresser au secrétariat.