Des chiffres et des dessins

Thalès de Millet

« Ah, vous êtes mathématicien ? » me répond l’inconnu d’un ton étonné, à peine admiratif, mais un brin méfiant aussi, et cherchant peut-être déjà la parade au cas où besoin s’en ferait sentir. Et il ajoute souvent « alors les chiffres n’ont pas de secrets pour vous ! ». Or les chiffres n’ont de loin pas toujours la primeur. Dans mes jours d’optimisme, j’essaie d’expliquer que les formes m’intéressent au moins autant que les chiffres, la géométrie autant que l’arithmétique, les descriptions autant que les formules (et les exemples autant que les théorèmes, mais c’est une autre histoire). J’insiste : les chiffres ne constituent pas les seuls objets mathématiques qui sont liés aux choses passant pour être concrètes.

Quoi de plus « concret » que la monnaie ? Eh bien, son apparition dans l’histoire des hommes est liée à des représentations géométriques autant qu’à l’écriture des chiffres. C’est ce qu’on peut apprendre dans un livre de Clarisse Herrenschmidt, Les trois écritures, langue, nombre, code (Bibliothèque des sciences humaines, Gallimard, 2007).

Les historiens semblent s’accorder sur le moment et le lieu de l’invention de l’écriture : il y a 5300 ans, à peu de chose près, en Mésopotamie et en Egypte. Si les écritures archaïques notent bien des nombres, le saut qualitatif qui m’intéresse ici est nettement plus tardif. C’est celui de l’apparition de la monnaie frappée, au VIIe siècle avant notre ère, en Ionie, dans la région de l’actuelle ville turque d’Izmir, sur la côte ouest de l’Asie mineure. Sur ces monnaies figure une « écriture des nombres et de leur rapports sans considération pour leur expression linguistique, qui débuta par des figures géométriques imprimées sur le revers des pièces grecques » (page V du livre déjà cité). Autrement dit : « L’écriture monétaire arithmétique n’est point une écriture au sens ordinaire du terme : elle ne consiste pas en la graphie d’une langue avec laquelle les hommes parlent. Il s’agit d’une écriture de nombres et de leurs rapports, historiquement associée à la monnaie frappée. » (ibidem, page 263).

Les figures représentées sur ces monnaies font allusion pour nous (et pour certains Ioniens peut-être) à des questions géométriques célèbres : un carré inscrit dans un cercle (la quadrature du cercle), deux carrés, le petit dont les sommets sont les milieux des côtés du grand (problème de la duplication du carré, et allusion au rapport de la longueur de l’hypoténuse à celle du côté dans un triangle rectangle isocèle, rapport qui est le nombre irrationnel\(\sqrt 2\), ou une étoile régulière à cinq branches inscrite dans un cercle (construction du pentagone régulier).

Par ailleurs, ces monnaies sont contemporaines de Thalès de Millet, né vers 625 et mort vers 545 avant notre ère. On lui attribue le théorème selon lequel, dans un triangle, une parallèle à un côté intersecte le triangle initial selon un triangle plus petit ayant les mêmes angles que le premier. Thalès est le plus ancien mathématicien dont l’histoire a retenu le nom ; notons qu’il était d’environ 45 ans l’aîné du mathématicien Pythagore, et qu’il précéda de bien plus longtemps la rédaction des Eléments d’Euclide (vers -300, voir ici), qui contiennent la première démonstration écrite qui nous soit parvenue du théorème de Thalès. Mais il semble bien qu’il faille dater de Thalès lui-même l’existence des premières démonstrations (déduisant les théorèmes de définitions et d’axiomes), alors que les énoncés antérieurs, par exemple babyloniens, étaient justifiés différemment.

Ainsi il y eut le problème clé de l’échange monnayé, et pour le résoudre l’adoption de pièces dont on peut connaître la valeur en les regardant, donc sans avoir besoin de connaître ni une langue gravée sur l’une de leurs faces ni leur poids ni la composition exacte de leur alliage. La solution a consisté à faire figurer sur les pièces des dessins géométriques codant leur valeur.

Je me suis rarement senti en si bonne compagnie. Il y a environ 2600 ans, en Ionie, dans certains esprits et sur certains marchés, sont nées simultanément les premières démonstrations mathématiques et les premières représentations géométriques des nombres, sur de la monnaie frappée. Il y a bien longtemps que la géométrie est inséparable de l’arithmétique.