Défis de septembre 2023

Dans le triangle de gauche, on doit avoir trois chiffres distincts dont la somme fait \(24\).

La seule possibilité est \(9+8+7\). Les quatre chiffres entourant le losange supérieur doivent avoir pour somme \(28\).

Les seules possibilités sont \(9+8+7+4\) et \(9+8+6+5\), mais comme l’un des trois chiffres parmi \(7\), \(8\) et \(9\) n’appartient pas à ce losange, la seule possibilité est \(9+8+6+5\), et \(7\) est donc le chiffre du sommet gauche du triangle de gauche.

On a donc la situation suivante~:

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où les chiffres \(a\) et \(b\) sont \(8\) et \(9\) (pas nécessairement dans cet ordre), et \(c\) et \(d\) sont \(5\) et \(6\) (pas nécessairement dans cet ordre).

Supposons que \(a\) vaille \(9\). Alors,
\(h+f=18-7-9=2\), ce qui est impossible.

Donc \(a=8\) et \(b=9\).

Si \(d=6\), alors \(e=3\).

D’autre part, \(a+e+f = 14\) et donc \(f\) vaudrait \(3\), ce qui est impossible.

Par conséquent, \(d=5\) et \(c=6\).

Enfin, on obtient \(e=4\), \(f=2\), \(g=3\) et \(h=1\).

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La seule possibilité est donc~:

Réponse : Le fût de bière contient \(20\) litres

Notons \(y\) le nombre de litres de vin achetés par le client qui en a acheté le moins. Ainsi, l’autre a acheté \(2y\) litres de vin. Soit \(x\) le nombre de litres de bière.

On a donc: \(x+3y=15+16+18+19+20+31=119\).

Par conséquent, \(119-x\) doit être divisible par \(3\).

Comme \(119=3 \times 39 +2\), cela signifie que la division euclidienne de \(x\) par \(3\) laisse \(2\) comme reste. Le seul nombre parmi \(15\), \(16\),
\(18\), \(19\), \(20\) et \(31\) qui ait cette propriété est \(20\).

Par conséquent, le fût de bière est celui qui contient \(20\) litres.

De plus, un client a acheté \(33=15+18\) litres de vin et l’autre \(66=16+19+31\) litres.

Réponse :

Comme \(12\) est une des différences, les nombres \(0\) et \(12\) doivent être placés sur deux sommets adjacents du cube.

Comme \(11\) est une autre différence, soit \(1\) est placé sur un sommet adjacent au sommet contenant le nombre \(12\), soit \(11\) est placé sur un sommet adjacent au sommet contenant \(0\).

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Supposons que le sommet \(1\) soit sur un sommet adjacent au sommet étiqueté par \(12\). Alors, une possibilité est la suivante :

Réponse : \(10\), \(11\), \(12\), \(13\) et \(14\).

Notons \(x-2\), \(x-1\), \(x\), \(x+1\) et \(x+2\) les cinq entiers naturels consécutifs.

Alors la condition cherchée est équivalente aux équations suivantes~:
\[
\begin{eqnarray*}
(x+1)^2+(x+2)^2 &=& x^2+(x-1)^2+(x-2)^2\\
x^2+2x+1+x^2+4x+4 &=& x^2+x^2-2x+1+x^2-4x+4\\
x^2-12x &=& 0\\
x(x-12) &=& 0.
\end{eqnarray*}
\]

Donc \(x = 0\) ou \(x = 12\).

Comme les entiers doivent être strictement positifs, la seule solution est \(x = 12\).

Par conséquent, les nombres sont: \(10\), \(11\), \(12\), \(13\) et \(14\).

Réponse : \(3+2\sqrt{2}\,\textrm{cm}\)

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On considère le triangle rectangle de la figure ci-dessous, dont les sommets sont les centres de trois cercles. On appelle \(x\) le rayon des quatre cercles identiques.

En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient~:
\[\begin{eqnarray*}
2(1+x)^2&=&(2x)^2\\
2x^2-4x-2 &=& 0\\
x^2-2x-1 &=&0
\end{eqnarray*}\]
Donc, on a \(x = 1\pm \sqrt{2}\).
Comme \(x\) est positif, on trouve \(x= 1+\sqrt{2}\,\textrm{cm}\).

Par conséquent, le rayon du plus grand cercle est \(1+2(1+\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}\,\textrm{cm}\).