Défis de novembre 2024

Étant donné un sommet \(S\), on appellera « pyramide de sommet \(S\) » l’ensemble des quatre faces autour de \(S\).

Comme la somme des nombres de \(1\) à \(8\) est égale à \(36\), en faisant la somme sur deux pyramides opposées, on voit que la somme des faces de chaque pyramide est nécessairement égale à \(18\).

Considérons maintenant la face marquée \(1\) et une de ses faces voisines. Ces deux faces font partie d’exactement deux pyramides. Il doit donc exister deux paires \(\{b,c\}\) et \(\{b’,c’\}\) telles que \(18=1+a+b+c=1+a+b’+c’\) et où \(1\), \(a\), \(b\), \(b’\), \(c\) et \(c’\) sont deux à deux distincts.

En prenant \(a=2\), par exemple, on doit avoir \(b+c=b’+c’=18-1-2=15\), ce qui nous donne une seule solution : \(7+8\). Deux telles paires n’existent donc pas pour \(a=2\).

En faisant une analyse similaire, on voit que \(a\) ne peut prendre que les valeurs \(a=4,6,7\) ou \(8\). Prenons par exemple \(a=6\) : on obtient \(b+c=b’+c’=18-1-6=11\) et donc les paires \(\{4,7\}\) et \(\{3,8\}\) conviennent.

On va donc maintenant essayer de remplir le patron suivant en mettant les paires \(\{4,7\}\) et \(\{3,8\}\) dans les parallélogrammes adjacents au parallélogramme \(\{1,6\}\). La paire \(\{2,5\}\) sera donc dans le dernier parallélogramme.

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Comme on a vu que \(1\) et \(3\) ne peuvent pas être voisins, on a nécessairement \(8\) sur le triangle du haut et \(3\) sur le triangle du bas. Enfin, comme la somme des quatre triangles du haut doit être égale à \(18\), on obtient alors les deux solutions ci-dessous.

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En raisonnant de manière analogue avec une autre valeur possible de \(a\), on peut obtenir d’autres solutions.

La pièce faisant \(5\,{\rm cm}^2\), le côté du carré recouvert est nécessairement un multiple de \(5\,{\rm cm}\). Par quelques essais, on peut voir que l’on ne peut pas recouvrir un carré \(5\,{\rm cm}\,\times\, 5\,{\rm cm}\). Par contre, il est possible de recouvrir un carré \(10\,{\rm cm}\,\times\, 10\,{\rm cm}\)

La réponse est : le dimanche. Dans une année non bissextile, on compte un mois de \(28\) jours qui contiendra toujours exactement quatre dimanches, sept mois de \(31\) jours et quatre mois de \(30\) jours. Le reste de la division euclidienne de \(30\) par \(7\) est \(2\) et celui de \(31\) par \(7\) est \(3\). Ainsi, un mois de \(30\) jours contiendra cinq dimanches si son premier jour est samedi ou dimanche, tandis qu’un mois de \(31\) jours contiendra cinq dimanches si son premier jour est vendredi, samedi ou dimanche. Si, par exemple, le \(1^{\text{er}}\) janvier tombe un dimanche, alors le \(1^{\text{er}}\) février sera un mercredi, le \(1^{\text{er}}\) mars sera un mercredi, le \(1^{\text{er}}\) avril sera un samedi, le \(1^{\text{er}}\) mai un lundi, le \(1^{\text{er}}\) juin un jeudi, le \(1^{\text{er}}\) juillet un samedi, le \(1^{\text{er}}\) août un mardi, le \(1^{\text{er}}\) septembre un vendredi, le \(1^{\text{er}}\) octobre un dimanche, le \(1^{\text{er}}\) novembre un mercredi et le \(1^{\text{er}}\) décembre un vendredi. On obtient ainsi cinq mois (janvier, avril, juillet, octobre, décembre) contenant exactement cinq dimanches. En refaisant le même raisonnement en changeant le jour de départ, on s’aperçoit que si le \(1^{\text{er}}\) janvier n’est pas un dimanche alors il n’y a que quatre mois contenant cinq dimanches.

La réponse est : \(16\) paires. Notons \(r\) le nombre de paires rouges commandées par Jules et \(p\) le prix d’une paire rouge. Le prix des paires vertes étant \(2p\), le prix attendu par Jules est donc \(r\times p+4\times 2p=(r+8)p\).

Le prix facturé est donc \(1{,}5(r+8)p\). Comme le vendeur a échangé le nombre de paires de chaque couleur, le prix facturé est aussi égal à \(4p+r\times 2p=(4+2r)p\). On obtient alors \[\frac32 (r+8)p=(4+2r)p.\] Cela donne \(r=16\).

La réponse est : \(12\) nombres possibles. On compte tout d’abord combien chaque chiffre utilise de segments. Le chiffre \(1\) utilise deux segments; \(2\), \(3\) et \(5\) en utilisent cinq ; \(4\) en utilise quatre ; \(0\), \(6\) et \(9\) en utilisent six ; \(7\) en utilise trois et enfin \(8\) en utilise sept. Le nombre \(12=5+7=6+6\) s’écrit de deux façons comme somme de deux entiers dans l’ensemble \(\{2,3,4,5,\) \(6,7\}\). On obtient \(3\times 2=6\) nombres pour la décomposition \(5+7\) qui sont \(28\), \(82\), \(38\), \(83\), \(58\) et \(85\). On obtient \(3\times 3-3=6\) nombres pour la décomposition \(6+6\) (les nombres \(00\), \(09\) ou \(06\) ne sont pas considérés comme des nombres à deux chiffres) qui sont \(60\), \(90\), \(66\), \(69\), \(96\) et \(99\). En tout, on a \(12\) nombres possibles.