Découpe optimale de pierres précieuses

Maths et Industrie

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Ce billet fait partie d’une série sur les « Success stories » européennes liant Mathématiques et Industrie. Ces histoires ont été recueillies dans le cadre du projet intitulé Forward Look « Mathematics and Industry » coordonné scientifiquement par le Comité de Mathématiques Appliquées de l’EMS et financé par l’ESF. Nous les remercions, ainsi que les auteurs pour nous avoir autorisés à traduire ces textes en français. La traduction a été réalisée par Paul Vigneaux.

Auteur de la version originale : Anton Winterfeld

Résumé

De nouvelles méthodes d’optimisation mathématique, basées sur la programmation semi-infinie et des modèles physiques, ont permis de réaliser la première machine au monde à tailler de manière complètement automatique des pierres précieuses.

L’objectif

A l’automne 2003, Fraunhofer ITWM a été contacté par Paul Wild OHG, l’un des plus importants manufacturiers de pierres précieuses en Europe. Son Président, Markus Wild, a eu l’idée de développer un système automatique d’analyse, de préparation et de production pour l’industrie de la gemme, de manière à conjointement augmenter le volume utile et améliorer la qualité du produit. Etant donné que cette industrie s’est forgée sur des traditions séculaires et des procédés manuels, il s’agissait d’une idée visionnaire. Une telle machine à tailler automatique n’existait pas et les mathématiques sous-jacentes au problème pratique sont étonnamment complexes. Il faut considérer des milliers de modèles de découpe différents, chacun devant être flexible en taille et proportions. Il n’était pas possible de résoudre le problème en prenant en compte le volume considérable de données venant des mesures précises de la pierre brute, au vu de la limite de temps imposé de 15 minutes pour un tel calcul.

Mise en œuvre de l’initiative

Pour minimiser le risque et explorer le potentiel de cette idée, plusieurs études ont été menées en 2004 et 2005. Les manières de contrôler automatiquement les procédés de taille et de polissage ont été examinées, ce qui a conduit à de nouveaux modèles physiques. De plus, un prototype de logiciel a été implémenté et testé sur des exemples de taille réduite pour attester des gains en volume attendus. Quand ces études ont été clôturées avec succès, un contrat de 2 ans a été signé au printemps 2005. Les objectifs de ce projet étaient de développer des algorithmes, un logiciel et la machine industrielle de manière à disposer d’un prototype complètement opérationnel. Le travail a été réalisé par plusieurs scientifiques de Fraunhofer ITWM et de chercheurs non permanents. Des contributions importantes sur le problème de la prise en compte des grandes dimensions associées aux problèmes industriels ont été développées dans une thèse. Comme la plupart des modèles pour la taille des pierres doivent être développés en partant « de zéro », un dialogue intense avec le client était nécessaire. Formaliser ses désirs, implémenter les stratégies de résolution, présenter les résultats puis adapter modèles et méthodes en fonction de ces retours a été la seule manière de progresser.

Le problème

La méthode utilisée pour résoudre le problème d’optimisation vient du domaine de recherche récent qu’est la programmation semi-infinie généralisée. Ayant l’avantage d’être très flexibles pour modéliser les problèmes de géométrie et de découpe, les programmes semi-infinis généralisés sont toutefois difficiles à gérer numériquement. En 2003, une nouvelle approche numérique pour une classe spéciale de tels programmes a été publiée. Il est apparu que cette technique peut être utilisée pour résoudre le problème d’optimisation associé à la taille des gemmes. Cependant, il a fallu améliorer drastiquement les temps de calcul et la stabilité de la méthode avant de pouvoir l’utiliser sur les problèmes réels. Les idées principales qui ont finalement permis la réalisation sont notamment un schéma avec une discrétisation adaptative sur les données de la pierre brute et l’utilisation de modèles non linéaires pour diminuer la complexité combinatoire associée à toutes les formes possibles.

Résultats

Le délivrable du projet consiste en une première mondiale : une machine automatique pour la production de pierres précieuses. Toutes les requêtes du client peuvent être satisfaites. En particulier, les solutions calculées par le logiciel d’optimisation conduisent à un volume 30% plus grand que les tailleurs professionnels. De plus, la découpe automatique est environ dix fois plus précise que les standards de l’industrie. Encouragés par ce succès, Fraunhofer ITWM et Paul Wild OHG ont initié plusieurs projets sur des problèmes plus avancés rencontrés par cette industrie, comme :

• trouver le compromis idéal entre volume et beauté ;
• la prise en compte des inclusions ;
• agencer simultanément plusieurs pierres taillées dans une pierre brute. Par ailleurs, Fraunhofer ITWM poursuit les recherches associées et applique ces résultats à d’autres domaines comme la médecine ou les procédés de moulage, dans le cadre de plusieurs doctorats.

Contact

Prof. Dr. Karl-Heinz Kuefer (Karl-Heinz.Kuefer@itwm.fraunhofer.de) et Dr. Anton Winterfeld. Fraunhofer Institut Techno-und Wirtschaftsmathematik (ITWM) Kaiserslautern. www.itwm.fraunhofer.de