D’Alembert doute-t-il de tout ?

• Portrait

Je vous avais imprudemment promis le 10 juillet une appréciation globale, donc fausse et hasardeuse, sur l’œuvre scientifique de D’Alembert. La voici. Disons que, depuis deux siècles et demi, il y a trois « crédits » qu’on ne lui a guère contestés :

• la découverte d’un principe général simple pour traiter tous les problèmes de mécanique, en ramenant la dynamique à la statique, à savoir le « principe de D’Alembert »,
• la traitement analytique de la précession des équinoxes à partir de ce principe et de la seule loi de la gravitation universelle, ce que Newton, ni personne d’autre avant lui, n’avaient réussi à faire,
• l’établissement des premières équations aux dérivées partielles pour résoudre le problème des cordes vibrantes et quelques autres, c’est-à-dire la découverte de l’équation des ondes et ce que nous appellerions anachroniquement l’utilisation du « dalembertien ».

ll y a bien eu quelques querelles de priorité sur ces trois points, mais elles ont vite été tranchées.

Pour le reste, les fluctuations, à travers l’histoire, entre ce que D’Alembert a revendiqué lui-même, ce qui lui a été reconnu comme remarquable de son vivant, puis au XIXe ou au XXe siècle, et ce qu’on peut penser maintenant, avec le recul de l’édition en cours de ses œuvres complètes (O.C.), invitent à la prudence dans les jugements. Nous nous contenterons de dire un mot des objets mathématiques qui portent son nom, avant d’évoquer rapidement d’autres angles d’attaque ¹ Voir « Qu’y a-t-il de nouveau dans l’œuvre scientifique de D’Alembert ? », in Sarah Carvallo et Sophie Roux, Du nouveau dans les sciences, n° 24 de Recherches sur la philosophie et le langage, Grenoble, 2006, p. 171-223. Article que je n’écrirais certes plus tout à fait ainsi, cinq ans plus tard … .

• Le « critère de D’Alembert » (hue-haine-plus-hun-sur-hue-haine) – Tout le monde, ou presque, est persuadé aujourd’hui que D’Alembert a posé a priori la question des critères de convergence des séries numériques à termes positifs, qu’il a énoncé et démontré ceci : si le rapport des termes consécutifs d’une série a pour limite un nombre plus petit que 1, la série est convergente. Il n’en est rien, d’un bout à l’autre, mais il est vrai que D’Alembert a été plus attentif que tous ses contemporains aux pièges que pouvait mettre sous nos pas l’utilisation de séries divergentes ²O.C., vol. III/5a, à paraître, Opuscules mathématiques, t. V, Première partie, sous la direction d’Alexandre.

• Le « théorème de D’Alembert », dit plutôt aujourd’hui « théorème de D’Alembert-Gauss » ou « théorème fondamental de l’algèbre » – On dit souvent que D’Alembert a énoncé le théorème fondamental de l’algèbre et la clôture algébrique du corps des nombres complexes, mais que sa démonstration était fausse, la première démonstration exacte étant due à Gauss. Les travaux de Christian Gilain ont montré qu’il fallait considérer les choses autrement, qu’on ne devait pas confondre, dans l’histoire, l’existence de racines complexes des équations algébriques et le théorème de factorisation, que la démonstration de D’Alembert, certes incomplète, était essentiellement juste et « complétable », etc. ³O.C., vol. I/4a, Textes de mathématiques pures (1745-1752), par Christian Gilain, Paris, CNRS-Editions, 2007..

• Le « paradoxe de D’Alembert » – Un solide qui se meut tranquillement dans un fluide ne recevrait en général de ce dernier aucune résistance, voilà qui est peu conforme au bon sens. Effectivement, D’Alembert s’est penché sur cet écart bien étrange entre les théories de l’époque et la réalité sensible ; il n’est pas tout à fait le seul, il en a beaucoup discuté avec Lagrange et ses résolutions ultimes du paradoxe ne sont pas absolument convaincantes ⁴O.C., vol. III/5a, à paraître, Opuscules mathématiques, t. V, Première partie, sous la direction d’Alexandre Guilbaud..

• La « condition de D’Alembert » – Il s’agit d’une méthode en optique pour corriger certains types d’achromatisme des lunettes ; cette expression n’est plus guère usitée, mais l’a été fin XIXe siècle et dans la première moitié du XXe. D’Alembert a effectivement établi cette méthode, qui est due en fait avant lui … à son ennemi intime Clairaut ⁵O.C., vol. III/3, à paraître, Opuscules mathématiques, t. III, par Fabrice Ferlin..

• L’« équation de D’Alembert » – Là encore, cette expression n’est plus guère usitée, mais l’a été fin XIXe et dans la première moitié du XXe siècle, surtout dans les ouvrages allemands. Ce sont les équations différentielles du premier ordre, linéaires en x et y, de la forme y=xf(y′)+g(y′). D’Alembert a effectivement étudié ces équations, mais ici encore l’antériorité de Clairaut ne fait pas de doute ⁶O.C., vol. I/4a. De nos jours, l’équation y=xy’+f(y’) est appelée « équation de Clairaut »..

• La « martingale de D’Alembert » – On croit souvent que la stratégie qui consiste, au jeu de pile ou face répété, à doubler sa mise en cas de perte puis à arrêter au premier gain, est due à D’Alembert, mais ce n’est pas vrai. Ce savant a en revanche beaucoup écrit sur les fondements du calcul des probabilités, douté de l’équiprobabilité, discuté de la prise en compte ou non des événements passés dans l’estimation des événements futurs, etc., exprimant souvent ses réflexions dans le cadre du jeu dit de « croix ou pile » ⁷Roger Mansuy, « Histoire de martingales », Mathématiques et sciences humaines, 169, 2005 (1), p. 105–113. Si vous préférez le lire en anglais, tapez « jehps ». N’y manquez pas la martingale de François Ier et celle d’Henri III..

On peut aussi attribuer à D’Alembert quantité de résultats, énoncés ou démonstrations, en mathématiques et en sciences physico-mathématiques, pour lesquels son nom est oublié, ou qu’on ne lui a jamais attribués, que lui-même n’a pas revendiqués ! Mais ce qu’on lui doit également, c’est d’avoir osé terminer un grand nombre de mémoires par une formule du type : « Sur ce point comme sur d’autres, nous en savons en fait bien peu, et j’invite les Géomètres à travailler ce sujet ».

Ces doutes et objections portent à peu près sur tous les domaines des mathématiques pures, mais aussi sur de nombreux aspects de l’utilisation des mathématiques dans les sciences physiques ou humaines. Chez l’auteur, ils débouchent souvent sur des propositions, des pistes de recherches, plus rarement sur des théories quelque peu achevées.

Doutes sur les fondements du calcul des probabilités et surtout sur les conditions dans lesquelles on a le droit d’appliquer une mathématique du hasard à des phénomènes de la vie réelle. Doutes sur les lois de la vision et l’application brutale de l’optique géométrique à cet égard. Doutes sur la possibilité d’employer des fonctions arbitraires là ou on devrait leur supposer une certaine régularité. Doutes sur la pertinence de remplacer une fonction par son développement en série entière ou trigonométrique. Doutes sur les principes plus ou moins métaphysiques de conservation des forces vives, de proportionnalité des causes aux effets et, plus généralement, doutes sur les relations linéaires non prouvées entre les phénomènes. Doutes sur les modèles d’élasticité largement admis. Doutes sur une utilisation incontrôlée des quantités négatives.

Expliciter les questions ouvertes, plutôt que de les enfouir sous l’apparat de mémoires et de traités intellectuellement clos, n’est-ce pas plus utile à la fécondité de la recherche ?