Ce billet fait partie d’une série sur les « Success stories » européennes liant Mathématiques et Industrie. Ces histoires ont été recueillies dans le cadre du projet intitulé Forward Look « Mathematics and Industry » coordonné scientifiquement par le Comité de Mathématiques Appliquées de l’EMS et financé par l’ESF. Nous les remercions, ainsi que les auteurs pour nous avoir autorisés à traduire ces textes en français. La traduction a été réalisée par Paul Vigneaux.
Auteurs de la version originale : Hans Zimmer et Volker Mehrmann
Résumé
En collaboration avec SFE GmbH Berlin, un nouveau solver pour de grands systèmes linéaires à paramètres et des problèmes de valeurs propres non linéaires issus de calculs de champs acoustiques pour l’habitacle de voitures a été développé et implémenté.
L’objectif
L’entreprise SFE GmbH (Gesellschaft fur Strukturanalyse in Forschung und Entwicklung mbH) est spécialisée dans le développement de logiciels pour la mécanique et l’acoustique des structures. Elle compte parmi ses clients nombre des plus importants constructeurs automobile. La collaboration existe depuis 2003, période au cours de laquelle un point difficile dans la résolution de problèmes aux valeurs propres non linéaires a été traité avec succès durant un stage et un diplôme de Master. Ce verrou a des applications cruciales dans la conception de lignes ferroviaires à haute vitesse et a initié une nouvelle théorie mathématique pour traiter des problèmes de valeurs propres non linéaires exhibant une structure particulière. Grâce au succès de cette coopération, SFE GmbH a entamé la collaboration sur la conception de l’acoustique des voitures avec les chercheurs du Centre MATHEON, pour obtenir une aide dans le développement de technologie algorithmique.
Mise en œuvre de l’initiative
La collaboration a pris la forme d’un contrat de recherche et développement. L’équipe était composée de membres du groupe de recherche, y compris des doctorants, payés par l’entreprise. Le partenaire industriel apportait son soutien sur la modélisation, l’environnement de programmation, le test des algorithmes et du logiciel implémenté sur des données réelles. Des difficultés sont apparues du fait des contraintes de temps industriel mais aussi des lacunes dans les connaissances académiques sur ces problèmes de valeurs propres non linéaires. Il a donc fallu créer de nouvelles méthodes algorithmiques pour des problèmes de valeurs propres à paramètres et des systèmes linéaires de grandes tailles.
Le problème
Mathématiquement, il s’agit de résoudre des problèmes de valeurs propres non linéaires \(f(a,z)x=0\) et des systèmes linéaires \(M(a)Y=B\) à seconds membres multiples avec un vecteur de paramètres \(a\) qui décrit le matériau, la géométrie, et les propriétés topologiques de la voiture. On cherche les valeurs propres \(z\), les vecteurs propres \(x\) et les réponses en fréquence \(Y\). Des problèmes à plusieurs millions d’inconnues émergent lorsque l’on modélise finement, par éléments-finis, la voiture et l’air à l’intérieur de l’habitacle (voir figure ci-dessous). Ils sont au-delà des limites autorisées par les techniques classiques de résolution. Ce, d’autant plus que ces problèmes doivent être résolus plusieurs fois avec des paramètres qui varient lors de la procédure d’optimisation.
Résultats
La coopération a mis à jour ce besoin de nouvelles méthodes. Il en a aussi résulté des recherches sur des méthodes de discrétisation adaptative pour les EDP sous-jacentes. Le groupe MATHEON s’est donc attelé à ces tâches en conduisant des recherches fondamentales sur des résolutions adaptatives de problèmes aux valeurs propres à paramètres en lien avec des EDP. Ainsi que sur de nouvelles techniques de recycling pour les systèmes de réponse en fréquence.
Maillage d’une voiture utilisé pour un calcul éléments-finis.
Leçons apprises et reproductibilité
Nombre des résultats de ce projet ainsi que d’autres associés à des projets ultérieurs seront utiles dans des contextes différents en modélisation, simulation et optimisation de systèmes complexes.
Contact
Hans Zimmer (sfe@sfe-berlin.de). SFE GmbH – Berlin, Allemagne : http://www.sfe-berlin.de
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Pr. Volker Mehrmann (mehrmann@math.tu-berlin.de). DFG Research Center MATHEON et Technische Universitat Berlin, Inst. f. Mathematik, Berlin, Allemagne
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Post-scriptum
Pour plus d’informations sur ces « Success Stories » et quelques éclairages sémantiques sur certains termes en italique, on pourra consulter ce billet.
ÉCRIT PAR
Paul Vigneaux
Professeur - Université de Picardie Jules Verne, LAMFA, CNRS
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Par exemple, on pourra écrire que sont les deux solutions complexes de l’équation .
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