Aristote était-il mathématicien ?

Ce billet ne contient pas vraiment la réponse à cette question mais une belle surprise autour d’elle.

Je ne m’aventurerai donc pas dans la pensée du grand philosophe – je n’en ai pas les compétences – même si depuis le jour où l’on m’a posé cette question j’ai envie de revisiter son oeuvre et ses contributions au développement du savoir.

Ce billet tente de rendre hommage aux « moteurs » – pour utiliser un mot presque aristotélicien – de ma passion pour l’enseignement des mathématiques, car hormis les mathématiques, que je trouve de plus en plus belles, il y a le public : les jeunes, de tous âges, ceux du primaire, du collège, du lycée et de nos universités.

Eh bien oui, car, quoi qu’on en dise, nous enseignons surtout pour ceux qui nous écoutent. Je transmets dans les cours et dans les conférences mais je reçois aussi. Recevoir et développer cette capacité d’attention aux questions des jeunes devraient faire partie, à mon avis, de la formation de chaque enseignant.

Voici quelques moments qui m’ont marqués. Il n’y a rien d’exhaustif dans ce qui va suivre, mais il s’agit de quelques arrêts sur image… sur questions plutôt.

Un jour, il y a quelques années, j’expliquais que l’ensemble des nombres complexes était un corps commutatif, après l’avoir expliqué pour les nombres réels et après avoir introduit la récurrence pour prouver quelques belles propriétés de ces nombres. Tout d’un coup, un étudiant me demande : monsieur, pour n=1, \(R\) est un corps commutatif, pour n=2, une fois identifié \(R^2\) à \(C\), on obtient un corps commutatif. Peut-on alors montrer, par récurrence, que pour tout n, \(R^n\) est un corps commutatif ? Je vous laisse méditer sur la complexité de la question encore que, pour en faire quelque chose, il faudrait la reformuler.¹Saunders Mac Lane – Garrett Birkhoff « Algebra » (version italienne, Ed. Mursia, 1975, p. 266) ²Jean Dieudonné,  « Algèbre linéaire et géométrie élémentaire », Hermann (quatrième édition revue et corrigée, Annexe IV, « Quaternions et rotations », p. 197 et suivantes)³Pour une courte mais instructive histoire de la naissance du corps non commutatif des quaternions : Jean Dieudonné, « Pour l’honneur de l’esprit humain », Hachette, 1987, p. 139–143

Lorsqu’on explique en première année d’études supérieures les opérations sur les ensembles quotients on se gargarise sur le fait que ces opérations ne dépendent pas des représentants choisis. Il m’est arrivé un jour qu’un étudiant me demande un exemple d’opération qui dépende des représentants. Voici qu’une étudiante intervient : « Peut-on utiliser, Monsieur, la fausse addition entre nombres rationnels ? ». En clair, \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\) !

Depuis quelques années, l’UFR de mathématiques de Lille organise des stages pour les élèves de classe de seconde dans le cadre de MathC2+ ⁴Voir également l’article de Christine Huyghe : mathc2+ à Strasbourg. Plusieurs sujets sont abordés durant la semaine et sont souvent en relation avec les spécialités des chercheurs qui interviennent : logique, probabilité, analyse numérique, géométrie, topologie, algèbre… Bref, on peut dire que toute la mathématique y passe.

« Lors de ce stage à l’Université en mathématiques j’ai aimé les activités proposées et les sujets étudiés ; ce qui m’a plu le plus sont les sujets en rapport avec la vie de tous les jours et enrichissant la culture générale ». Voilà le commentaire d’une élève et je trouve inutile de rajouter le mien.

« J’ai bien aimé La caractéristique d’Euler car nous avons découvert de nouvelles propriétés sur les solides et les graphes » dit un autre, puis d’ajouter plus loin « L’un des deux exposés que j’ai préféré est : Qu’est-ce qu’un fractal ? Entre jeu de clips et programmation », puis encore « à la fin de cette excellente semaine, les enseignants-chercheurs nous ont offert un livre, un CD et une revue ».

Une élève était ravie d’avoir découvert des choses assez surprenantes comme « Pourquoi les plaques de monnaie et les roues sont-elles rondes ? ⁵Voici l’article de Serge Cantat : Le triangle de Reuleaux Peut-on trouver d’autres formes géométriques ayant les mêmes propriétés… J’ai aimé les énigmes, très différentes des autres groupes (de physique, informatique, chimie) car, dans les Maths, il n’a pas fallu faire des exposés mais, chercher soi-même la réponse à la devinette et la démontrer aux yeux de tous lors de la soutenance des projets. »

Là aussi, je garde le silence.

Un élève a trouvé que tous les exposés « étaient fort enrichissants ». « Durant le stage nous avons découvert le métier d’enseignant-chercheur en mathématiques ; ce fut passionnant et tentant comme perspective d’avenir. Maintenant, je m’attaque bien volontiers à tous les problèmes de mathématiques ou de logique que je rencontre et j’ai même commencé à me renseigner sur des thèmes que je ne verrai pas au lycée notamment la théorie des groupes. »

Rien à rajouter de ma part non plus.

Un autre, après avoir visionné deux films « La passeggiata, battement d’ailes au jardin du Luxembourg » (interview de Jean-Pierre Kahane) et « Dimensions » d’Aurélien Alvarez, Etienne Ghys et Jos Leys, a eu ces commentaires : « Ah, ce Monsieur, il a beaucoup de choses intéressantes à dire ! » et pour le second « Durant le film, j’ai beaucoup appris, notamment la projection stéréographie qui m’était inconnue auparavant. La dimension 4, des formes géométriques plus grandes, et complexes, les unes que les autres, comme le 600 tétraèdre, le 120 dodécaèdre ou encore l’hypercube ». Même avec quelques imprécisions, ces propos révèlent un intérêt pour des sujets profonds.

Ces stages représentent pour les enseignants-chercheurs que nous sommes une source supplémentaire d’énergie à croire avec passion dans notre métier.

Parmi les plus beaux souvenirs que je garde de ces rencontres avec les élèves, il y a celui que j’ai vécu au collège Lavoisier de Ferrière la Grande. Il s’agit d’une commune du Val de Sambre, près de Maubeuge. Je devais alors faire une intervention pour la Cité des Géométries dans une classe de cinquième. Avant de commencer, une question me traverse l’esprit et je m’empresse de la poser aux jeunes : connaissez vous des mathématiciens ? Après les vedettes habituelles (avec un infini respect pour Thalès, Euclide et Pythagore), voilà trois jeunes qui lèvent la main et m’interrogent : « Monsieur, Einstein était-il mathématicien ? » Puis un autre : « Monsieur, Léonard de Vinci était-il mathématicien ? » Et, cerise sur le gâteau : « Monsieur, Aristote était-il mathématicien ? »

Sans commentaires, si, du bonheur, un bonheur qui dure depuis dix ans !