Quelques problèmes ouverts de géométrie élémentaire

• Écho de la recherche

La géométrie discrète est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux objets géométriques qui sont « discrets », c’est-à-dire qu’ils peuvent être décrits par un nombre fini de paramètres. Elle est relativement peu pratiquée dans les départements de mathématiques de par le monde, mais beaucoup plus dans les départements d’informatique (ou de computer science), où ils intéressent à la fois pour eux-même et pour leur rôle dans des applications.

Alors que la plupart des questions de géométrie étudiées par les mathématiciens sont relativement abstraites et difficiles d’accès, la géométrie discrète recèle une multitude de questions remarquablement faciles à poser, mais dont on ne connaît pas la réponse — on parle de problèmes « ouverts ». On va en présenter trois, choisis parmi beaucoup d’autres.

Le dépliage des polyèdres

La géométrie discrète est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux objets géométriques qui sont « discrets », c’est-à-dire qu’ils peuvent être décrits par un nombre fini de paramètres. Elle est relativement peu pratiquée dans les départements de mathématiques de par le monde, mais beaucoup plus dans les départements d’informatique (ou de computer science), où ils intéressent à la fois pour eux-même et pour leur rôle dans des applications.

Alors que la plupart des questions de géométrie étudiées par les mathématiciens sont relativement abstraites et difficiles d’accès, la géométrie discrète recèle une multitude de questions remarquablement faciles à poser, mais dont on ne connaît pas la réponse — on parle de problèmes « ouverts ». On va en présenter trois, choisis parmi beaucoup d’autres.

Le dépliage des polyèdres

Supposons que vous voulez construire un polyèdre, par exemple un cube ou un icosaèdre ¹On pourra aussi consulter les articles Une chambre hyperbolique et Triangulations : de la terre au nœud de trèfle. sur ce même site. Comment faire ? Le plus simple est de construire un « patron » : par exemple, pour un cube, on dessine 6 carrés sur une feuille de papier, qui forment par exemple une espèce de croix, puis on les découpe, on plie le long des arêtes et on les recolle pour former un cube, voir par exemple ici. Cette construction est en fait ancienne, elle remonte au moins à Dürer qui en a laissé de nombreuses illustrations comme celle-ci.

Ceci conduit à une question bien naturelle : étant donné un polyèdre, peut-il toujours être obtenu de cette manière ? En termes un peu plus précis, est-il toujours possible de découper un polyèdre (convexe) le long de certaines arêtes, pour obtenir un domaine connexe dépliable sur le plan (sans auto-intersection) ? Et bien, on ne le sait toujours pas.

La conjecture de Kneser-Poulsen

Considérons maintenant un ensemble de boules \(B_1, B_2,\cdots, B_n\) dans l’espace. Déplaçons maintenant ces boules de manière que la distance entre les centres de deux quelconques d’entre elles diminue. La conjecture de Kneser-Poulsen affirme que le volume de l’intersection de toutes ces boules est plus grande dans cette nouvelle configuration. Et aussi que le volume de la réunion de toutes ces boules est plus petit.

L’analogue de cette conjecture est vrai dans le plan, voir ici. En dimension plus grande, et bien, on ne sait pas !

La subdivision du cube

Est-il possible de découper un cube en tétraèdres dont tous les angles sont aigus, c’est-à-dire strictement inférieurs à 90 degrés ? En dimension 2, la réponse est positive : on peut découper un carré en triangles aigus, c’est un exercice qu’on laisse au lecteur (attention ça n’est pas si facile !) En dimension trois, et bien, on ne sait pas !

Est-ce intéressant ?

Ces trois problèmes sont faciles à énoncer mais ils sont très éloignés des préoccupations de la grande majorité des mathématiciens, qui étudient généralement des notions moins faciles à appréhender mais dont on a de bonnes raisons de penser qu’elles jouent un rôle plus fondamental (pour les mathématiques, pour les autres sciences, voire pour les applications). On peut se demander s’ils sont intéressants, c’est-à-dire si y répondre représenterait un progrès important de la connaissance.

Ca n’est pas clair. Il est tout à fait possible que certains de ces problèmes se revèlent peu intéressants, par exemple parce que les conjectures correspondantes sont fausses mais que les contre-exemples sont simplement trop compliqués pour avoir été trouvés jusqu’ici. Dans ce cas, trouver la réponse serait certes utile, mais ne changerait pas fondamentalement notre compréhension des mathématiques — les contre-exemples trouvés resteraient des curiosités. Mais il est possible aussi que notre incapacité à résoudre ces questions soit due à notre incompréhension d’outils conceptuels fondamentaux, dans ce cas ces problèmes seraient comme la pointe émergée d’icebergs mathématiques encore à découvrir.