Équations de réaction-diffusion

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Équation pierre-papier-ciseaux

Équation pierre-papier-ciseaux

L’équation de réaction-diffusion pierre-papier-ciseaux s’inspire du jeu du même nom. Elle décrit un mélange de trois produits chimiques, dont chacun peut convertir l’un des autres produits en lui même. Dans cette vidéo, les trois produits apparaissent en rouge, bleu et vert. Le produit rouge convertit le vert en rouge, le bleu convertit le rouge en bleu, et le vert convertit le bleu en vert. Cette règle peut être utilisée dans un automate cellulaire, mais dans la simulation montrée ici, la situation est plus compliquée : en tout point, les trois substances peuvent être présentes en quantités différentes, et les trois réactions coexistent. La concentration relative des trois substances est convertie en code RGB, qui détermine la couleur affichée. Plus précisément, si \(u\), \(v\) et \(w\) dénotent les concentrations de produit rouge, bleu et vert, les équations s’écrivent \begin{align} \partial_t u &= D\Delta(u) + u(1 – \rho – av) \\ \partial_t v &= D\Delta(v) + v(1 – \rho – aw) \\ \partial_t w &= D\Delta(w) + w(1 – \rho – au) \end{align} où \(\rho = u + v + w\) est la concentration totale, \(\Delta\) est l’opérateur de Laplace et \(\partial_t\) dénote la dérivée par rapport au temps. La viscosité \(D\) est égale à 10 et le paramètre \(a\) est égal à \(0,75\). Dans la vidéo, l’équation pierre-papier-ciseaux est simulée sur une région rectangulaire avec conditions aux bords périodiques. L’état initial est aléatoire. Néanmoins, des structures géométriques, en forme de spirales, apparaissent rapidement. Un phénomène similaire est observé dans certaines réactions chimiques réelles, découvertes par Belousov et Zhabotinsky.

Équation d'Allen-Cahn sur la sphère

Cette vidéo montre une simulation de l’équation d’Allen-Cahn sur une sphère. Le point de vue de l’observateur tourne autour de la sphère à latitude constante. La coordonnée radiale et la couleur (bleu ou rouge) indiquent la concentration de chacune des deux phases, pour une condition initiale aléatoire. On peut observer le phénomène de séparation des phases, caractérisé par la croissance des domaines dans lesquels chacune des phases est dominante. On sait montrer que la frontière entre ces domaines suit un « flot de courbure moyenne » : la frontière évolue le plus vite là où sa courbure est la plus forte, éliminant les petites gouttes, et diminuant le courbure des bords des domaines plus grands.

Équation d'Allen-Cahn

Les équations de réaction-diffusion combinent, comme leur nom l’indique, deux mécanismes dans un système composé de plusieurs phases :

• une partie diffusion, tendant à rendre le système plus homogène, comme c’est le cas pour la chaleur dans un solide ;
• une partie réaction, qui autorise certaines phases à ce transformer en d’autres, ce qui conduit souvent à l’apparition de motifs géométriques intéressants.

Ces réactions furent popularisées dans un article fondateur d’Alan Turing, proposant de décrire la morphogénèse (apparition de formes) dans des réactions chimiques ou des systèmes vivants par ce genre d’équations. Pour plus de détails, voir l’article « Les mathématiques de la morphogénèse »  (partie I  et partie II) de Pascal Chossat.

L’équation d’Allen-Cahn (ou de Chafee-Infante) modélise la séparation de phases, comme par exemple les régions d’aimantation différente dans un matériau magnétique ou celles dominées par différents types d’atomes dans un alliage. Elle donne également une description approchée d’un mélange de vinaigre et d’huile formant une mayonnaise, même si dans ce cas le modèle est imparfait car la quantité totale de chaque phase n’est pas conservée. Cette équation s’écrit
\[
\partial_t u = D \Delta u + u – u^3
\]
où \(\Delta\) est l’opérateur de Laplace qui tend à rendre le système plus homogène, \(\partial_t\) dénote la dérivée par rapport au temps et \(D\) est un paramètre de viscosité.

Dans cette vidéo, l’équation d’Allen-Cahn est simulée sur une région rectangulaire avec conditions aux bords périodiques, que l’on peut donc identifier à un tore. La condition initiale est aléatoire. La couleur (bleu ou rouge) et la troisième dimension indiquent la concentration de chacune des deux phases. La viscosité, qui contrôle la diffusion, augmente au cours du temps afin d’accélérer le processus de séparation des phases.